3.789 \(\int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{5/2}}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=822 \[ \frac{2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)} (b c-a d)^2}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{d \sqrt{c+d} (5 b c-3 a d) \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{b^3 \sqrt{a+b} f}-\frac{\sqrt{a+b} \left (-\left (2 c^2-6 d c-d^2\right ) b^2-2 a d (c+3 d) b+3 a^2 d^2\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{(a-b) b^3 \sqrt{c+d} f}+\frac{\left (-\left (2 c^2-d^2\right ) b^2+4 a c d b-3 a^2 d^2\right ) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{(c-d) \sqrt{c+d} \left (2 b^2 c^2-4 a b d c+3 a^2 d^2-b^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{(a-b) b^2 \sqrt{a+b} f (b c-a d)} \]

[Out]

((c - d)*Sqrt[c + d]*(2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 - b^2*d^2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Si
n[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-
(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c -
d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b^2*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (d*Sqrt[c + d]*(5*b
*c - 3*a*d)*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqr
t[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*
x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a
+ b*Sin[e + f*x]))/(b^3*Sqrt[a + b]*f) + (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^
2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((4*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 - d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e +
f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2*d^2 - 2*a*b*d*(c + 3*d) - b^2*(2*c^2 -
6*c*d - d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])]
, ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[
e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a
- b)*b^3*Sqrt[c + d]*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.65171, antiderivative size = 822, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.241, Rules used = {2792, 3061, 3053, 2811, 2998, 2818, 2996} \[ \frac{2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)} (b c-a d)^2}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{d \sqrt{c+d} (5 b c-3 a d) \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{b^3 \sqrt{a+b} f}-\frac{\sqrt{a+b} \left (-\left (2 c^2-6 d c-d^2\right ) b^2-2 a d (c+3 d) b+3 a^2 d^2\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{(a-b) b^3 \sqrt{c+d} f}+\frac{\left (-\left (2 c^2-d^2\right ) b^2+4 a c d b-3 a^2 d^2\right ) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{(c-d) \sqrt{c+d} \left (2 b^2 c^2-4 a b d c+3 a^2 d^2-b^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{(a-b) b^2 \sqrt{a+b} f (b c-a d)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

((c - d)*Sqrt[c + d]*(2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 - b^2*d^2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Si
n[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-
(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c -
d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b^2*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (d*Sqrt[c + d]*(5*b
*c - 3*a*d)*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqr
t[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*
x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a
+ b*Sin[e + f*x]))/(b^3*Sqrt[a + b]*f) + (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^
2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((4*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 - d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e +
f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2*d^2 - 2*a*b*d*(c + 3*d) - b^2*(2*c^2 -
6*c*d - d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])]
, ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[
e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a
- b)*b^3*Sqrt[c + d]*f)

Rule 2792

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -S
imp[((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(
d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Sin[e +
f*x])^(n + 1)*Simp[b*(m - 2)*(b*c - a*d)^2 + a*d*(n + 1)*(c*(a^2 + b^2) - 2*a*b*d) + (b*(n + 1)*(a*b*c^2 + c*
d*(a^2 + b^2) - 3*a*b*d^2) - a*(n + 2)*(b*c - a*d)^2)*Sin[e + f*x] + b*(b^2*(c^2 - d^2) - m*(b*c - a*d)^2 + d*
n*(2*a*b*c - d*(a^2 + b^2)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 2] && LtQ[n, -1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

Rule 3061

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) +
(f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]])/(d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x] + Dist[1/(2*d), Int[(1*Simp[2*a*A*d - C*(b*c - a*d) - 2*(a*c*C - d
*(A*b + a*B))*Sin[e + f*x] + (2*b*B*d - C*(b*c + a*d))*Sin[e + f*x]^2, x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c
+ d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]
&& NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3053

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[C/b^2, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f
*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Dist[1/b^2, Int[(A*b^2 - a^2*C + b*(b*B - 2*a*C)*Sin[e + f*x])/((a + b
*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a
*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2811

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
(2*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a
*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*EllipticPi[(b*(c + d))/(d*(a + b)), ArcSin[(Rt[(a + b
)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))])/(d*f*
Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{5/2}}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx &=\frac{2 (b c-a d)^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{2 \int \frac{\frac{1}{2} \left (3 b^2 c^2 d+a^2 d^3-a b c \left (c^2+3 d^2\right )\right )-\frac{1}{2} \left (2 a^2 c d^2-a b d \left (c^2-d^2\right )+b^2 \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) \sin (e+f x)+\frac{1}{2} d \left (4 a b c d-3 a^2 d^2-b^2 \left (2 c^2-d^2\right )\right ) \sin ^2(e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{b \left (a^2-b^2\right )}\\ &=\frac{2 (b c-a d)^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{\left (4 a b c d-3 a^2 d^2-b^2 \left (2 c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{-\frac{1}{2} \left (a^2-b^2\right ) d \left (2 b c^3-b c d^2+a d^3\right )-\left (a^2-b^2\right ) c d^2 (3 b c-a d) \sin (e+f x)-\frac{1}{2} \left (a^2-b^2\right ) d^3 (5 b c-3 a d) \sin ^2(e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{b \left (a^2-b^2\right ) d}\\ &=\frac{2 (b c-a d)^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{\left (4 a b c d-3 a^2 d^2-b^2 \left (2 c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{\frac{1}{2} a^2 \left (a^2-b^2\right ) d^3 (5 b c-3 a d)-\frac{1}{2} b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \left (2 b c^3-b c d^2+a d^3\right )+b \left (a \left (a^2-b^2\right ) d^3 (5 b c-3 a d)-b \left (a^2-b^2\right ) c d^2 (3 b c-a d)\right ) \sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}+\frac{\left (d^2 (5 b c-3 a d)\right ) \int \frac{\sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{2 b^3}\\ &=\frac{d \sqrt{c+d} (5 b c-3 a d) \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{b^3 \sqrt{a+b} f}+\frac{2 (b c-a d)^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{\left (4 a b c d-3 a^2 d^2-b^2 \left (2 c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{\left (\frac{1}{2} a^2 \left (a^2-b^2\right ) d^3 (5 b c-3 a d)-\frac{1}{2} b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \left (2 b c^3-b c d^2+a d^3\right )-b \left (a \left (a^2-b^2\right ) d^3 (5 b c-3 a d)-b \left (a^2-b^2\right ) c d^2 (3 b c-a d)\right )\right ) \int \frac{1}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{(a-b) b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}+\frac{\left (-a b \left (a \left (a^2-b^2\right ) d^3 (5 b c-3 a d)-b \left (a^2-b^2\right ) c d^2 (3 b c-a d)\right )+b \left (\frac{1}{2} a^2 \left (a^2-b^2\right ) d^3 (5 b c-3 a d)-\frac{1}{2} b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \left (2 b c^3-b c d^2+a d^3\right )\right )\right ) \int \frac{1+\sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{(a-b) b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}\\ &=-\frac{(c-d) \sqrt{c+d} \left (4 a b c d-3 a^2 d^2-b^2 \left (2 c^2-d^2\right )\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{(a-b) b^2 \sqrt{a+b} (b c-a d) f}+\frac{d \sqrt{c+d} (5 b c-3 a d) \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{b^3 \sqrt{a+b} f}+\frac{2 (b c-a d)^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{\left (4 a b c d-3 a^2 d^2-b^2 \left (2 c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{b \left (a^2-b^2\right ) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{\sqrt{a+b} \left (3 a^2 d^2-2 a b d (c+3 d)-b^2 \left (2 c^2-6 c d-d^2\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{(a-b) b^3 \sqrt{c+d} f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.7905, size = 1975, normalized size = 2.4 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(-2*(b^2*c^2*Cos[e + f*x] - 2*a*b*c*d*Cos[e + f*x] + a^2*d^2*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(-a^2
+ b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((-4*(-(b*c) + a*d)*(2*a*b*c^3 - 4*b^2*c^2*d + 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3 - b^
2*d^3)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f
*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*
Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt
[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin
[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - 4*(-(b*c) + a*d)*(2*b^2*c^3 - 2*a*b*c^2*d + 4*a^2*c*d^2 - 6*b^2*c*d^2 +
2*a*b*d^3)*((Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + P
i/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e
+ f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d
)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a
+ b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[
(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) +
a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*
Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c
+ d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) + 2*(-2*b
^2*c^2*d + 4*a*b*c*d^2 - 3*a^2*d^3 + b^2*d^3)*((Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sin[e + f
*x]]) + (Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Sin[(-
e + Pi/2 - f*x)/2])/Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[c + d*Sin[
e + f*x]])/(b*d*Sqrt[((a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(a + b*Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[
(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]) - (2*(-(b*c
) + a*d)*((((a + b)*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a +
b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-
c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x])
)/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*
(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((b*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/
2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c +
d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2
- f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Cs
c[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]])))/(b*d)))/(2*(a - b)*b*(a + b)*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 51.96, size = 3901706, normalized size = 4746.6 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)/(b*sin(f*x + e) + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (d^{2} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, c d \sin \left (f x + e\right ) - c^{2} - d^{2}\right )} \sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}{b^{2} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a b \sin \left (f x + e\right ) - a^{2} - b^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d^2*cos(f*x + e)^2 - 2*c*d*sin(f*x + e) - c^2 - d^2)*sqrt(b*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) +
c)/(b^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*b*sin(f*x + e) - a^2 - b^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))**(5/2)/(a+b*sin(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)/(b*sin(f*x + e) + a)^(3/2), x)